约数倍数问题是数量关系模块中一类非常重要的题型，而完全平方数的约数个数又是约数倍数问题里面经常会考到的一个知识点，今天华图教育带大家一起来认识一下平方数的约数。

判断一个数的约数个数时，我们往往先将这个数进行质因数分解，然后把各个质因数的幂次数字分别加1，最后再相乘，得到的数字就是这个数的约数个数。其中最小的约数是1，最大的约数是这个数字本身。例如：，那么120的约数个数一共有（3+1）X（1+1）X（1+1）=16(个)。

在实际做题过程中，有一类题型考察的本质往往是让我们判断一个数的约数个数是奇数还是偶数，根据上述规律可知，想让一个数的约数个数是奇数，那么对其进行质因数分解后其所有质因数的指数应该都是偶数(因为一旦有一个指数是奇数，加1之后就是偶数，最后乘出来的总约数个数必然是偶数)，而满足此条件的数只能是完全平方数。因此我们可以总结规律：若一个数的约数个数是奇数，那么这个数一定是完全平方数。

一、例题精讲

【例1】设有编号为1、2、3…10的10张背面向上的纸牌，现有10名游戏者，第1名游戏者将所有编号是1的倍数的纸牌翻成另一面向上的状态，接着第2名游戏者将所有编号是2的倍数的纸牌翻成另一面向上的状态，……，第n名(n≤10)游戏者，将所有编号是n的倍数的纸牌翻成另一面向上的状态，如此下去，当第10名游戏者翻完纸牌后，那些纸牌正面向上的最大编号与最小编号的差是( )。

A. 2

B. 4

C. 6

D. 8

【答案】D

【解析】首先我们根据题目中所说的翻牌规律确定一下纸牌被翻的次数由什么决定：

比如编号为6这张纸牌在这个过程中会被第1名，第2名，第3名，第6名，各翻1次，一共被翻了4次，而1、2、3、6正好是6的4个约数，因此我们知道纸牌被翻的次数等于其编号的约数个数。刚开始纸牌都是背面朝上，而题目问题是最终正面朝上的纸牌最大编号与最小编号差，故最终想让纸牌正面朝上，这张纸牌在整个过程中应该被翻了奇数次，即这张纸牌的编号的约数个数应该是奇数。一个数的约数个数是奇数，那么这个数一定是完全平方数，1~10之间只有1、4、9这3个数字是完全平方数，那么最大和最小的编号之差为9-1=8，故选D。

【例2】编号为1—50的选手参加一个爬楼比赛，楼高为60层，所有选手在第1层均获得一个特别的号牌，此后每经过一个楼层，如果选手的编号正好是楼层数的整数倍，就将得到一个特别的号牌，所有选手都到达终点后，正好持有3个特别号牌的选手有多少人?

A. 1

B. 4

C. 7

D. 10

【答案】B

【解析】首先我们根据题目中的规律来探索一下选手最终持有的的特别号牌数量与选手编号的关系：例如编号为8的选手会在第1层，第2层，第4层，第8层各获得一个特别号牌，共获得4个特别号牌。而1、2、4、8正是编号8的4个约数，因此我们知道选手最终获得特别号牌的个数就是其本身编号的约数个数。题目中说正好持有3个特别号牌，说明选手的编号一共有3个约数。3为奇数，说明选手编号一定是完全平方数，即编号可以表示为a2这样的形势，而只有当a为质数的时候才能保证恰好有3个约数，在1-50中，满足条件的有22、32、52、72，一共4个，所以选B。

总之，一个数的约数个数若为奇数个，那么这个数必是完全平方数，牢牢把握这一规律，我们才能在较短的时间内选出正确的答案。